Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，在$x=\frac{π}{12}$时取得最大值．
（1）求ω，φ；
（2）若关于x的方程f（x）-1+A=0在$[-\frac{π}{4}，0]$上有实数解，求实数A的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用周期，及在$x=\frac{π}{12}$时取得最大值求ω，φ；
（2）确定f（x）-1+A∈[$\frac{1}{2}$A-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$A+A-1]，即可求实数A的取值范围．

解答 解：（1）由题意，T=$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2，
sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，0＜φ＜π，∴φ=$\frac{1}{3}$π；
（2）f（x）=Asin（2x+$\frac{1}{3}$π），
f（x）∈[-$\frac{1}{2}$A，$\frac{\sqrt{3}}{2}$A]
f（x）-1+A∈[$\frac{1}{2}$A-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$A+A-1]，
∵关于x的方程f（x）-1+A=0在$[-\frac{π}{4}，0]$上有实数解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}A-1≤0}\\{（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）A-1≥0}\end{array}\right.$，∴4-2$\sqrt{3}$≤A≤2．

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．