Question

二次函数y=f（x）的图象经过三点A（-3，7），B（5，7），C（2，-8）．
（1）求函数y=f（x）的解析式
（2）求函数y=f（x）在区间[t，t+1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由二次函数y=f（x）的图象经过三点A（-3，7），B（5，7），故可设函数解析式为f（x）=a（x+3）（x-5）+7，将C（2，-8）代入求出a值，即可得到函数y=f（x）的解析式
（2）根据二次函数在定区间上最值的求示，我们分四种情况，对区间[t，t+1]上的最大值和最小值进行分类讨论，即可得到结果．

解答：解：（1）解A，B两点纵坐标相同故可令
f（x）-7=a（x+3）（x-5）即f（x）=a（x+3）（x-5）+7
将C（2，-8）代入上式可得a=1
∴f（x）=（x+3）（x-5）+7=x²-2x-8（4分）
（2）由f（x）=x²-2x-8可知对称轴x=1
①当t+1≤1即t≤0时y=f（x）在区间[t，t+1]上为减函数
∴f（x）_max=f（t）=t²-2t-8
f（x）_min=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）-8=t²-9（6分）
②当t≥1时，y=f（x）在区间[t，t+1]9）上为增函数
∴f（x）_max=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）-8=t²-
（x）_min=f（t）=t²-2t-8（8分）
③当1-t≥t+1-1＞0即0＜t≤

1

2

时
f（x）_max=f（t）=t²-2t-8
f（x）_min=f（1）=-9（10分）
④当0＜1-t＜t+1-1即

1

2

＜t＜1时
f（x）_max=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）-8=t²-9
f（x）_min=f（1）=-9（12分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数的值域，函数的解析式的求解及常用方法，其中（1）中将函数的解析式设为两点式，可以简化解答过程，（2）中分类讨论时，分类的标准是区间与对称轴的关系．