【题目】已知函数(
),
.
(1)若的图象在
处的切线恰好也是
图象的切线.
①求实数的值;
②若方程在区间
内有唯一实数解,求实数
的取值范围.
(2)当时,求证:对于区间
上的任意两个不相等的实数
,
,都有
成立.
【答案】(1)①,
;(2)详见解析
【解析】试题分析:(1)①首先求函数的图象在
处的切线,
,
,又因为切点为
,所以切线方程为
,于是问题转化为直线
与函数
图象相切,于是可以根据直线与抛物线相切进行解题;②问题转化为方程
在区间
内有唯一实数解,参变量分离得
,设
,
,研究
的单调性、极值,转化为直线
与
有且只有一个交点,(2)当
时,
在
上单调递增,
在
上单调递增,设
,则
,
,于是问题转化为
,构造函数
,通过函数
在
上单调递减,可以求出
的取值范围.
试题解析:①,∴
,
,切点为
,
∴切线方程为,即
,
联立,消去
,可得
,
,
∴;
②由,得
,
设,
,则问题等价于
与
的图象在
上有唯一交点,
∵,∴
,
,函数单调递增,
,
,函数单调递减,
∵,
,且
时,
,
∴;
证明:(2)不妨设,则
,
,
∴可化为
∴
设,即
,∴
在
上单调递减,
∴恒成立,即
在
上恒成立,
∵,∴
,
从而,当时,命题成立.
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【题目】已知函数f(x)=x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e为自然对数的底数.
(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线l:x+2y=0垂直,求实数a的值;
(II)设函数F(x)=-x[g(x)+x-2],若F(x)在区间(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点,求m的值;
(III)用max{m,n}表示m,n中的较大者,记函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0). 若函数h(x)在(0,+∞)上恰有2个零点,求实数a的取值范围.
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【题目】画出下列函数的图像,并根据图像说出函数y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上函数y=f(x)是增函数还是减函数。
(1)y=x2-5x-6; (2)y=|4-x2|.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
:
,以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
:
.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
,求
的参数方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若,CE∶EB=1∶4,求CE的长.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点
为圆心,椭圆
的长半轴长为半径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点,
为动直线
与椭圆
的两个交点,问:在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出点
的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知矩形的对角线交于点
,边
所在直线的方程为
,点
在边
所在的直线上.
(1)求矩形的外接圆的方程;
(2)已知直线(
),求证:直线
与矩形
的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线
的方程.
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