Question

13．F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点，A（1，1）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点，则|PA|+2|PF|的最小值为3．

Answer 1

分析 先作出图形来，过点P向椭圆右准线做垂线，垂足为B，根据椭圆方程求得离心率和准线方程，再根据椭圆的定义找到取得最值的状态求解．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
e=$\frac{1}{2}$，右准线为x=4，
∴|PA|+2|PF|即为|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|，
∴根据椭圆的第二定义：
过A作右准线的垂线，交于B点，
则|PA|+$\frac{1}{e}$|PF|的最小值为|AB|．
∵|AB|=3，
∴|PA|+2|PF|的最小值为：3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查学生的作图能力和应用椭圆的定义来求最值的能力，主要考查了椭圆的应用，考查了学生对椭圆基本知识的理解和应用．