Question

把函数f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x（x∈R）的图象按向量

a

=(m，0)(m＞0)平移，所得函数y=g（x）的图象关于直线x=

17

8

π对称．
（1）设有不等的实数x₁、x₂∈（0，π），且f（x₁）=f（x₂）=1，求x₁+x₂的值；
（2）求m的最小值；
（3）当m取最小值时，求函数y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）f(x)=

2

cos(2x+

π

4

)+2，由f（x₁）=f（x₂）=1得到cos(2x1 +

π

4

)=  -

2

2

，cos(2x2+

π

4

)=-

2

2

，
故 x=

x1+x2

2

 过函数图象的最低点，可得 x1+x2=

3π

4

．
（2）移后的表达式用（x，y）表示，则

x-x1=m y-y1=0

，由于 y=

2

cos(2x-2m+

π

4

)+2 关于 x=

17

8

π对称，可得 2

17

8

π-2m+

π

4

=kπ，m_min=

π

4

．
（3）g(x)=

2

cos(2x-

π

4

)+2，由  2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出函数y=g（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）f（x）=cos2x-sin2x+2，∴f(x)=

2

cos(2x+

π

4

)+2，∵f（x₁）=f（x₂）=1，
∴cos(2x1 +

π

4

)=  -

2

2

，cos(2x2+

π

4

)=-

2

2

，故 x=

x1+x2

2

 过函数图象的最低点，
∴x1+x2=

3π

4

．
（2）移后的表达式用（x，y）表示，则

x-x1=m y-y1=0

，∴

x1=x-m y1=y

．
由于 y=

2

cos(2x-2m+

π

4

)+2 关于 x=

17

8

π对称，∴2

17

8

π-2m+

π

4

=kπ，
∴m=

9π

4

-

kπ

2

，k∈Z，∴m_min=

π

4

 解得k=4．
（3）g(x)=

2

cos(2x-

π

4

)+2，由  2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得
kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，故函数的减区间为 [kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．

点评：本题考查余弦函数的单调性、对称性，y=Asin（ωx+∅）的图象的变换，求出g（x）的解析式，是解题的难点．