Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=

a

x-4

+10（x-7）²，其中3＜x＜7，a为常数，已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大并求出最大值．

Answer 1

考点：不等式的实际应用,函数模型的选择与应用

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由销售价格为4元/千克时，每日可销售出该商品5千克；销售价格为4.5元/千克时，每日可销售出该商品2.35千克，建立方程，即可求出f（x）的解析式；
（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

解答： 解：（1）由题意，11=

a

6-4

+10（6-7）²，解得a=2，故f（x）=

2

x-4

+10（x-7）²（3＜x＜7）；
（ 2）商场每日销售该商品所获得的利润为y=g（x）=（x-4）f（x）=2+10（x-7）²（x-4）（3＜x＜7），
y′=30（x-7）（x-5）．
列表得x，y，y′的变化情况：

x	（3，5）	5	（5，7）
y'	+	0	-
y	单调递增	极大值42	单调递减

由上表可得，x=5是函数f（x）在区间（3，7）内的极大值点，也是最大值点，此时y=42元

点评：本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．