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已知在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且cosA(
3
sinA-cosA)=
1
2

①求角A的大小.
②若a=2
2
S△ABC=2
3
,求b,c
分析:①把已知等式的左边去括号后,分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式变形,得出sin(2A-
π
6
)的值为1,根据A为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数;
②利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,将sinA及已知的面积代入求出bc的值,利用余弦定理得到a2=b2+c2-2bccosA,根据完全平方公式变形后,将cosA,a及bc的值代入,求出b+c的值,将bc=8与b+c=2
2
联立组成方程组,求出方程组的解集即可得到b与c的值.
解答:解:①∵cosA(
3
sinA-cosA)=
1
2

3
sinAcosA-cos2A=
3
2
sin2A-
1
2
(1+cos2A)=
3
2
sin2A-
1
2
cos2A-
1
2
=
1
2

即sin(2A-
π
6
)=1,又A为三角形的内角,
∴2A-
π
6
=
π
2

解得:A=
π
3

②∵a=2
2
,S△ABC=2
3
,sinA=
3
2

1
2
bcsinA=2
3
,即bc=8①,
由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,
即8=(b+c)2-24,解得:b+c=4
2
②,
联立①②,解得:b=c=2
2
点评:此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:二倍角的正弦、余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,三角形的面积公式,余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
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已知在△ABC中,a=2
3
,c=6,A=30°
,求△ABC的面积S.

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已知在△ABC中,∠A=120°,记
α
=
BA
|
BA
|cosA
+
BC
|
BC
|cosC
β
=
CA
|CA|
cosA
+
CB
|
CB
|sinB
CB
|
CB
|cosB
,则向量
α
β
的夹角为
120°
120°

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已知在△ABC中,a=2
3
,b=6,A=30°,解三角形.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知在△ABC中,a,b,c为内角A,B,C所对的边长,r为内切圆的半径,则△ABC的面积S=
1
2
(a+b+c)
•r,将此结论类比到空间,已知在四面体ABCD中,已知在四面体ABCD中,
S1,S2,S3,S4分别为四个面的面积,r为内切球的半径
S1,S2,S3,S4分别为四个面的面积,r为内切球的半径
,则
四面体ABCD的体积V=
1
3
(S1+S2+S3+S4).r
四面体ABCD的体积V=
1
3
(S1+S2+S3+S4).r

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