Question

已知函数的定义域为，值域为[-5,4]；函数 .
(Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ) 当, 且g(x) =5时, 求tan x.

Answer 1

（Ⅰ）当a＞0时，T=2p, g(x)_max=5；当a＜0时，T=p, g(x)_max=   
（Ⅱ） tan x=－

f(x)=a(1－cos2x)－sin2x＋b
=－a(cos2x＋sin2x)＋a＋b=－2asin(2x＋)＋a＋b .    ----------2分
∵x∈，∴2x＋，sin(2x＋)Î. 显然a=0不合题意.---- -3分
(1) 当a＞0时,值域为,即----------5分
(2) 当a＜0时,值域为,即········ 6分
(Ⅰ) 当a＞0时，g(x)=3sinx-4cosx=5sin(x+j₁),  ∴T=2p, g(x)_max=5;
当a＜0时，g(x)= -3sinx+2cosx=sin(x+j₂),
∴ T=p, g(x)_max=.······················ 8分
(Ⅱ)由上可知，
当a＞0时, 由g(x)=5sin(x+j₁)，且tanj₁=-, g(x)_max=5，此时x+j₁＝2kp+(k∈Z).
则x=2kp+-j₁(k∈Z), x∈(0,p)，∴tanx=cotj₁＝-.10分
当a<0时, g(x)_max=<5，所以不存在符合题意的x. ---------12分
综上，tan x=－. -------------------13分