Question

17．在△ABC中，tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，若$\frac{a+sinA}{b+sinB}$=$\frac{3}{2}$，则tanB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化简$\frac{a+sinA}{b+sinB}$=$\frac{3}{2}$可得：3sinB=2sinA①，由三角函数恒等变换的应用化简tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，解得cosC=$\frac{1}{2}$，C为三角形内角，可得C=$\frac{π}{3}$．由①利用两角差的正弦函数公式及同角三角函数关系式即可解得tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴若$\frac{a+sinA}{b+sinB}$=$\frac{3}{2}$，则3b-2a=2sinA-3sinB，可得：6RsinB-4RsinA=2R（3sinB-2sinA）=-（3sinB-2sinA），
∴可得：3sinB=2sinA①，
∵tan$\frac{A+B}{2}$=$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sinC=2sin（A+B）=4sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，解得：cos²$\frac{A+B}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1+cos（A+B）}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得：cosC=-cos（A+B）=$\frac{1}{2}$，C为三角形内角，可得C=$\frac{π}{3}$．
∴由①可得：3sinB=2sin（$\frac{2π}{3}-$B）=$\sqrt{3}$cosB+sinB，解得：tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于中档题．