Question

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0，则不等式x•f（x）≤0的解集为（　　）

• A、（-∞，-2]∪（0，2]
• B、[-2，0]∪[2，+∞）
• C、（-∞，-2]∪[2，+∞）
• D、[-2，0）∪（0，2]

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，所以在（-∞，0）上单调递增，并且由f（2）=0得到f（-2）=0．显然x=0时满足原不等式，即x=0是它的一个解；x≠0时，由原不等式得，

x＞0 f(x)≤0=f(2)

，或

x＜0 f(x)≥0=f(-2)

，根据f（x）的单调性即可解出这两个不等式组，然后将所得解合并x=0即得到原不等式的解集．

解答： 解：由已知条件知，f（x）在（-∞，0）上单调递增，f（-2）=0；
∴x=0时，原不等式成立；
x≠0时，由原不等式得

x＞0 f(x)≤0=f(2)

 （Ⅰ）或

x＜0 f(x)≥0=f(-2)

（Ⅱ）；
所以根据f（x）的单调性解（Ⅰ）得，x≥2，解（Ⅱ）得，-2≤x＜0；
∴原不等式的解集为[-2，0]∪[2，+∞）．
故选B．

点评：考查奇函数的概念，以及奇函数在对称区间上的单调性的特点，根据单调性的定义解不等式．