Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同时满足下列条件：①f（1）=1；②当x∈R时，恒有f（x）≥x成立；③当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=4f（x）-4x+2，试问g（x）是否存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．若存在，求出这样的区间[a，b]，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法结合题中条件，利用二次函数的性质建立关于a，b，c的方程求解即得；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足两个条件，再利用函数的单调性，求出a，b的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）因当x∈R时，恒有f（x）≥x成立，
即ax²+（b-1）x+c≥0，∴△=（b-1）²-4ac≤0，且a＞0，①
当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立，则函数f（x）=ax²+bx+c和图象的对称轴是x=-1，
即-

b

2a

=-1，∴b=2a，②
又f（1）=1，∴a+b+c=1，③
由①②③解得：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，
∴f（x）的表达式为f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．
（2）g（x）=4f（x）-4x+2=x²-2x+3，
假设存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．
∵g（x）在[a，b]上单调，∴a≥1或b≤1．
当a≥1时，g（x）在[a，b]上单调增，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[a²-2a+3，b²-2b+3]，
∴

a2-2a+3=a b2-2b+3=b

，此方程组无解；
当b≤1时，g（x）在[a，b]上单调减，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[b²-2b+3，a²-2a+3]，
∴

a2-2a+3=b b2-2b+3=a

，此方程组无解；
综上可知，不存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足条件．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．