Question

18．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABEF是平行四边形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，AB=AC，点E在底面ABC的射影为BC的中点O．
（Ⅰ）求证：ED⊥平面EBC；
（Ⅱ）求二面角E-BD-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结EO，AO，DO，推导出四边形BFDO是平行四边形，四边形AEDO是平行四边形，从而DE$\underset{∥}{=}$AO，再推导出AO⊥平面EBC，由此能证明ED⊥平面EBC．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-F的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结EO，AODO，
∵多面体ABCDEF中，四边形ABEF是平行四边形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2$\sqrt{2}$，
∠BAC=90°，AB=AC，点E在底面ABC的射影为BC的中点O，
∴EO⊥底面ABC，AO⊥BC，OA=OB=OC=DF=$\sqrt{2}$，
AE=BF=2$\sqrt{2}$，OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{8-2}$=$\sqrt{6}$
∴OB$\underset{∥}{=}$DF，∴四边形BFDO是平行四边形，∴OD∥BF∥AF，且OD=BF=AE=2$\sqrt{2}$，
∴四边形AEDO是平行四边形，∴DE$\underset{∥}{=}$AO，
∵AO⊥BC，且AO⊥EO，BC∩EO=O，∴AO⊥平面EBC，
∴ED⊥平面EBC．
解：（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，$\sqrt{2}$，0），D（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{6}$），E（0，0，$\sqrt{6}$），F（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{BE}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{6}$），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{6}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-\sqrt{2}y+\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}a-\sqrt{2}b+\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-\sqrt{2}a+\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
设二面角E-BD-F的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$，
∴二面角E-BD-F的平面角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．