分析 (Ⅰ)连结EO,AO,DO,推导出四边形BFDO是平行四边形,四边形AEDO是平行四边形,从而DE$\underset{∥}{=}$AO,再推导出AO⊥平面EBC,由此能证明ED⊥平面EBC.
(Ⅱ)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角E-BD-F的平面角的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)连结EO,AODO,
∵多面体ABCDEF中,四边形ABEF是平行四边形,DF∥BC,BC=BF=2DF=2$\sqrt{2}$,
∠BAC=90°,AB=AC,点E在底面ABC的射影为BC的中点O,
∴EO⊥底面ABC,AO⊥BC,OA=OB=OC=DF=$\sqrt{2}$,
AE=BF=2$\sqrt{2}$,OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{8-2}$=$\sqrt{6}$
∴OB$\underset{∥}{=}$DF,∴四边形BFDO是平行四边形,∴OD∥BF∥AF,且OD=BF=AE=2$\sqrt{2}$,
∴四边形AEDO是平行四边形,∴DE$\underset{∥}{=}$AO,
∵AO⊥BC,且AO⊥EO,BC∩EO=O,∴AO⊥平面EBC,
∴ED⊥平面EBC.
解:(Ⅱ)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,
B(0,$\sqrt{2}$,0),D(-$\sqrt{2}$,0,$\sqrt{6}$),E(0,0,$\sqrt{6}$),F(-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$,$\sqrt{6}$),
$\overrightarrow{BD}$=(-$\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$,$\sqrt{6}$),$\overrightarrow{BE}$=(0,-$\sqrt{2}$,$\sqrt{6}$),$\overrightarrow{BF}$=(-$\sqrt{2}$,0,$\sqrt{6}$),
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{6}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-\sqrt{2}y+\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$,取y=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=(0,$\sqrt{3}$,1),
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}a-\sqrt{2}b+\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-\sqrt{2}a+\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$,取a=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3},0,1$),
设二面角E-BD-F的平面角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$,
∴二面角E-BD-F的平面角的余弦值为$\frac{1}{4}$.
点评 本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | 3955 | B. | 3957 | C. | 3959 | D. | 3961 |
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A. | 4$\sqrt{2}$ | B. | 4 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 2 |
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