Question

1．已知函数f（x）=2+$\frac{1}{a}-\frac{1}{{{a^2}x}}$（实数a≠0），
（1）若m＜n＜0，请判断函数f（x）在区间[m，n]上的单调性并证明；
（2）若$\frac{8}{7}$≤m＜n且a＞0时，函数f（x）的定义域和值域都[m，n]，求n-m的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义进行证明即可；
（2）问题转化为方程f（x）=x有两个相异的正实数根m，n，再由一元二次方程根与系数关系和配方法求n-m的最大值．

解答 解：（1）不妨设m≤x₁＜x₂≤n＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{a^2}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{a^2}$•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵m≤x₁＜x₂≤n＜0，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
因此，f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）f（x）的定义域和值域都是[m，n]，且函数f（x）递增，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即方程f（x）=x有两个相异的正实数根m，n，
因此，2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a^2x}$=x，整理得，a²x²-（2a+1）ax+1=0，---①
根据一元二次方程根与系数的关系得，
|m-n|=$\frac{\sqrt{（2a+1）^2a^2-4a^2}}{a^2}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{2}{3}）^2+\frac{16}{3}}$，
当a=$\frac{3}{2}$时，|m-n|_max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
经检验，当a=$\frac{3}{2}$时，方程①有两相异正实根，符合题意，
因此，n-m的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查函数单调性的证明和应用，利用定义法以及根据一元二次方程的性质进行转化是解决本题的关键．