解:(1)∵PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,
∴CD⊥PA
∵矩形ABCD中,CD⊥AD,PA、AD是平面PDC内的相交直线
∴CD⊥平面PDA
∵PD?平面PDA,∴CD⊥PD,三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形
∵Rt△PAD中,AD=2
,PA=2,
∴PD=
=2
∴三角形PCD的面积S=
×PD×DC=2
(2)[解法一]
如图所示,建立空间直角坐标系,可得B(2,0,0),C(2,2
,0),E(1,
,1)
∴
=(1,
,1),
=(0,2
,0),
设
与
夹角为θ,则cosθ=
=
=
∴θ=
,由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为
[解法二]
取PB的中点F,连接AF、EF、AC,
∵△PBC中,E、F分别是PC、PB的中点
∴EF∥BC,∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角
∵Rt△PAC中,PC=
=4
∴AE=
PC=4
∵在△AEF中,EF=
BC=
,AF=
PB=
∴AF
2+EF
2=AE
2,△AEF是以F为直角顶点的等腰Rt△
∴∠AEF=
,可得异面直线BC与AE所成的角的大小为
分析:(1)可以利用线面垂直的判定与性质,证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形,然后在Rt△PAD中,利用勾股定理得到PD=2
,最后得到三角形PCD的面积S;
(2)[解法一]建立如图空间直角坐标系,可得B、C、E各点的坐标,从而
=(1,
,1),
=(0,2
,0),利用空间向量数量积的公式,得到
与
夹角θ满足:cosθ=
,由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为
;
[解法二]取PB的中点F,连接AF、EF,△PBC中,利用中位线定理,得到EF∥BC,从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角,然后可以通过计算证明出:△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形,所以∠AEF=
,可得异面直线BC与AE所成的角的大小为
.
点评:本题根据一个特殊的四棱锥,求异面直线所成的角和证明线面垂直,着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识,属于中档题.