【题目】如图,已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A,B两点,连接PA并延长,交圆O于点C,连续PB交圆O于点D,若MC=BC.
(1)求证:△APM∽△ABP;
(2)求证:四边形PMCD是平行四边形.
【答案】
(1)证明:∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,
∴MN2=PN2=NANB,
∴ =
,
又∵∠PNA=∠BNP,
∴△PNA∽△BNP,
∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA,.
∵MC=BC,
∴∠MAC=∠BAC,
∴∠MAP=∠PAB,
∴△APM∽△ABP
(2)证明:∵∠ACD=∠PBN,
∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD.
∵△APM∽△ABP,
∴∠PMA=∠BPA
∵PM是圆O的切线,
∴∠PMA=∠MCP,
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,
∴MC∥PD,
∴四边形PMCD是平行四边形
【解析】(1)由切割线定理,及N是PM的中点,可得PN2=NANB,进而 =
,结合∠PNA=∠BNP,可得△PNA∽△BNP,则∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA;再由MC=BC,可得∠MAC=∠BAC,再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB,进而得到△APM∽△ABP(2)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM是圆O的切线,可证得∠MCP=∠DPC,即MC∥PD;再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形.
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【题目】已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和为S3=.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.
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【题目】已知直线l: (t为参数,α为l的倾斜角),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C为:ρ2﹣6ρcosθ+5=0.
(1)若直线l与曲线C相切,求α的值;
(2)设曲线C上任意一点的直角坐标为(x,y),求x+y的取值范围.
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【题目】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下面结论:
①AC∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;
④AD1与BD为异面直线.其中正确的结论的序号是________.
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【题目】如图所示,P是△ABC所在平面外的一点,点A′,B′,C′分别是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求证:平面ABC∥平面A′B′C′;
(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比.
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【题目】如图1,在高为2的梯形ABCD中,,
,
,过A、B分别作
,
,垂足分别为E、
已知
,将D、C沿AE、BF折向同侧,得空间几何体
,如图2.
若
,求证:
;
若
,线段AB的中点是P,求CP与平面ACD所成角的正弦值.
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【题目】已知向量 =(﹣2sin(π﹣x),cosx),
=(
cosx,2sin(
﹣x)),函数f(x)=1﹣
.
(1)若x∈[0, ],求函数f(x)的值域;
(2)当x∈[0,π]时,求f(x)的单调递增区间.
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