Question

f（x）=x-

3

x

在P（x₀，y₀）处的切线于y轴以及直线y=x所围成的三角形的面积是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的截距式方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：令y₀=x₀-

3

x0

，求导y′=1+

3

x2

；从而可得切线方程y-（x₀-

3

x0

）=（1+

3

x 2 0

）（x-x₀）；从而求三角形的面积．

解答： 解：y₀=x₀-

3

x0

，y′=1+

3

x2

；
故y₀=x₀-

3

x0

，y′|_x=x0=1+

3

x 2 0

；
y-（x₀-

3

x0

）=（1+

3

x 2 0

）（x-x₀）；
令x=0得，y=-

6

x0

；
y-（x₀-

3

x0

）=（1+

3

x 2 0

）（x-x₀）与y=x联立方程可得，
x-（x₀-

3

x0

）=（1+

3

x 2 0

）（x-x₀）；
x=2x₀，
故f（x）=x-

3

x

在P（x₀，y₀）处的切线于y轴以及直线y=x所围成的三角形的面积是
S=

1

2

|-

6

x0

||2x₀|=6；
故答案为：6．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．