Question

14．已知函数f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b为常数且a≠0）在x=1处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）当b=-3时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据在x=1处的切线与x轴平行，可构造关于a，b的方程，根据b=-3求出a值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调区间；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于b的方程求得结果．

解答 解：（1）因为f（x）=lnx+ax²+bx，所以f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+b．
因为f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b为常数且a≠0）在x=1处的切线与x轴平行…（3分）
f′（1）=1+2a+b=0
当b=-3时，a=1，f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$，
随的变化情况如下表：

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

所以的单调递增区间为（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），单调递减区间为（$\frac{1}{2}$，1）…（…（6分）
（2）因为f′（x）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，令f′（x）=0，x₁=1，x₂=$\frac{1}{2a}$…（7分）
因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x₂=$\frac{1}{2a}$≠x₁=1，
当$\frac{1}{2a}$＜0时，f（x）在[1，e]上单调递减，
所以在区间（0，e]上的最大值为f（1），令（1）=1，解得a=-2，所以b=3…（8分）
当a＞0，x₂=$\frac{1}{2a}$＞0，
当$\frac{1}{2a}$＜1时，f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）上单调递增，（$\frac{1}{2a}$，1）上单调递减，（1，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=$\frac{1}{2a}$或x=e处取得
而f（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$+a（$\frac{1}{2a}$）²-（2a+1）•$\frac{1}{2a}$=ln$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{4a}$-1＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=$\frac{1}{e-2}$，$b=\frac{-e}{e-2}$…（10分）
当1≤$\frac{1}{2a}$＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，$\frac{1}{2a}$）上单调递减，（$\frac{1}{2a}$，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=1或x=e处取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=$\frac{1}{e-2}$，与1＜x₂=$\frac{1}{2a}$＜e矛盾，…（11分）
当x₂=$\frac{1}{2a}$≥e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在[1，e]单调递减，
所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
综上所述，b=3或$b=\frac{-e}{e-2}$…（12分）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究切线方程，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属难题．