Question

（2010•南宁二模）设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，

1

2

），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，利用椭圆的定义，求出a，b，c 即可得到椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P的坐标，代入（Ⅰ）中所得椭圆方程，利用Q（0，

1

2

），求|PQ|的表达式，结合y的范围即可求出y的最大值；
（Ⅲ）类似椭圆的定义，直接把椭圆换为双曲线即可得到性质．

解答：解：（Ⅰ）椭圆C的焦点坐标在x轴上，由椭圆上的点A到到F₁、F₂两点的距离之和等于4，
得2a=4，即a=2，
又椭圆C上的点A（1，

3

2

），因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b=

3

，所以c=1，
所以椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1，F₁、F₂两焦点坐标为（-1，0），（1，0）．
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点设（x，y），
则

x2

4

+

y2

3

=1，∴x2=4-

4

3

y2，Q（0，

1

2

），
|PQ|2=x2+(y-

1

2

)2=-

1

3

y2-y+

17

4

=-

1

3

(y+

3

2

)2+5，
因为-

3

≤y≤

3

，
∴当y=-

3

2

时，|PQ|的最大值=

5

；
（Ⅲ）类似性质，若M、N是双曲线双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．

点评：本题是中档题，考查椭圆的定义，标准方程的求法，两点间的距离公式最值的求法，考查计算能力转化思想的应用．