Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=1（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式求得数列的首项并求出等比数列的公比，然后代入等比数列的通项公式求得答案；
（2）把an=(

1

2

)n代入b_n+1=b_n+a_n，然后利用累加法结合等比数列的前n项和求得等比数列的通项公式．

解答： 解：（1）由a_n+S_n=1，得a₁+S₁=2a₁=1，a1=

1

2

；
当n≥2时，a_n-1+S_n-1=1，
两式作差得：a_n-a_n-1+a_n=0，即

an

an-1

=

1

2

（n≥2）．
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴an=(

1

2

)n；
（2）把an=(

1

2

)n代入b_n+1=b_n+a_n，得
b_n+1=b_n+(

1

2

)n．
则b2=b1+

1

2

，
b3=b2+(

1

2

)2，
…
bn=bn-1+(

1

2

)n-1（n≥2）．
累加得：bn=b1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

（n≥2）．
当n=1时上式成立．
∴bn=2-

1

2n-1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．