Question

（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x³﹣3x²+3ax﹣3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

（1）y=（3a﹣3）x﹣3a+4
（2）|f（x）|_max=．

（1）因为f（x）=x³﹣3x²+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x²﹣6x+3a，
故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4；
（2）由于f′（x）=3（x﹣1）²+3（a﹣1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．
当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．
当0＜a＜1时，由3（x﹣1）²+3（a﹣1）=0，得，．
所以，当x∈（0，x₁）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x₂，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极大值，极小值．
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，．
从而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
当0＜a＜时，f（0）＞|f（2）|．
又=
故．
当时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．
又=．
所以当时，f（x₁）＞|f（2）|．
故．
当时，f（x₁）≤|f（2）|．
故f（x）_max=|f（2）|=3a﹣1．
综上所述|f（x）|_max=．