Question

14．已知定义域为R的函数g（x），当x∈（-1，1]时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}-1，-1＜x≤0}\\{{x}^{2}-3x+2，0＜x≤1}\end{array}\right.$，且g（x+2）=g（x）对?x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）-m（x+1）在区间[-1，5]内有6个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）
• B． （-∞，$\frac{2}{5}$]∪（$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． [$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）
• D． [$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 若函数f（x）=g（x）-m（x+1）在区间[-1，5]内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[-1，5]内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．

解答 解：∵g（x+2）=g（x）对?x∈R恒成立，
∴函数g（x）的周期为2．
又∵当x∈（-1，1]时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}-1，-1＜x≤0}\\{{x}^{2}-3x+2，0＜x≤1}\end{array}\right.$，
∴函数g（x）的图象如下图所示：

令函数f（x）=g（x）-m（x+1）=0，
则g（x）=m（x+1），
若函数f（x）=g（x）-m（x+1）在区间[-1，5]内有6个零点，
则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[-1，5]内有6个交点．
∵y=m（x+1）恒过点（-1，0），
过（-1，0），（4，2）点的直线斜率为$\frac{2}{5}$，
过（-1，0），（2，2）点的直线斜率为$\frac{2}{3}$，
根据图象可得：x∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$），
故选：C．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，难度中档．