【题目】如图,三棱锥P﹣ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.
(1)求证:BE⊥平面PAC;
(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.
【答案】
(1)证明:∵PB⊥底面ABC,且AC底面ABC,∴AC⊥PB,
由∠BCA=90°,得AC⊥CB,
又∵PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC,
∵BE平面PBC,∴AC⊥BE,
∵PB=BC,E为PC中点,∴BE⊥PC,
∵PC∩AC=C,BE⊥平面PAC.
(2)解:如图,以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系.
则C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),
=( ).
设平面BEF的法向量 =(x,y,z).
由 ,取x=1,则得 =(1,1,﹣1).
,
,
∴ ,
∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值 .
【解析】(1)推导出AC⊥PB,AC⊥CB,从而AC⊥BE,又BE⊥PC,由此能证明BE⊥平面PAC.(2)以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能证明直线AB与平面BEF所成角的正弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想,以及对空间角的异面直线所成的角的理解,了解已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.
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【题目】已知函数 的最小正周期为π,将函数f(x)的图象向右平移 个所得图象对应的函数为y=g(x),则关于函数为y=g(x)的性质,下列说法不正确的是( )
A.g(x)为奇函数
B.关于直线 对称
C.关于点(π,0)对称
D.在 上递增
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【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1 , 且这个几何体的体积为10. (Ⅰ)求棱AA1的长;
(Ⅱ)若A1C1的中点为O1 , 求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值.
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【题目】“a≤0”是“函数f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】已知函数f(x)=|x+3|﹣m,m>0,f(x﹣3)≥0的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞). (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若x∈R,使得 成立,求实数t的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x﹣y+4=0,曲线C的参数方程为 .
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为 ,判断点P与直线l的位置关系;
(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
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【题目】已知数列{an}为等差数列,a1=3且(a3﹣1)是(a2﹣1)与a4的等比中项.
(1)求an;
(2)若数列{an}的前n项和为Sn , bn= ,Tn=﹣b1+b2+b3+…+(﹣1)nbn , 求Tn .
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【题目】将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数g(x)的一条对称轴是
B.函数g(x)的一个对称中心是
C.函数g(x)的一条对称轴是
D.函数g(x)的一个对称中心是
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