Question

【题目】(2017·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.

(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）

【解析】试题分析:(1) 取PA的中点F，根据平几知识得四边形BCEF是平行四边形，即得CE∥BF ，再根据线面平行判定定理证结论，(2) 先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角M-AB-D的余弦值.

试题解析: (1)证明　取PA的中点F，连接EF，BF，

因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.

由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，

又BC＝AD，所以EF綉BC，

四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，

又BF平面PAB，

CE平面PAB，

故CE∥平面PAB.

(2)解　由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则

A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，

＝(1，0，－)，＝(1，0，0).

设M(x，y，z)(0<x<1)，则

＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－).

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，

而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量，

所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，

＝，

即(x－1)2＋y2span>－z2＝0.①

又M在棱PC上，设＝λ(0＜λ≤1)，则

x＝λ，y＝1，z＝－λ.②

由①，②解得 (舍去)，

所以M，从而＝.

设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则

即

所以可取m＝(0，－，2).

于是cos〈m，n〉＝＝.

因此二面角M－AB－D的余弦值为.