Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，以|F₁F₂|为直径的圆与双曲线交于A，B，C，D四点，且四边形ABCD的一条对角线所在的直线的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 5

Answer 1

分析 四边形ABCD的一条对角线所在的直线的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得四边形ABCD的一条对角线所在的直线的倾斜角为30°，
从而（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：∵四边形ABCD的一条对角线所在的直线的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴四边形ABCD的一条对角线所在的直线的倾斜角为30°，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，
∴$\frac{3{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
∴3e⁴-8e²+4=0，
∴e=$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，确定（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上是关键．