Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N⁺），则a₂₀₁₅=（　　）

• A． 0
• B． $\sqrt{3}$
• C． -$\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值，得到周期为3，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N⁺），a₁=0，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{1}+1}$=$\frac{0-\sqrt{3}}{\sqrt{3}•0+1}$=-$\sqrt{3}$，
a₃=$\frac{{a}_{1}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{2}+1}$=$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{-\sqrt{3}•\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$，
a₄=$\frac{{a}_{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{3}+1}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}+1}$=0，
∴该数列是以3为周期的周期数列，
∵2015=671×3+2，
∴a₂₀₁₅=a₂=-$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．