Question

给出四个命题：
①函数y=sin|x|是周期函数，且周期为2π；
②函数y=

1

2

+

1

2x-1

与y=

(1+2x)2

x•2x

都是奇函数；
③函数y=2cos(2x+

π

3

)的图象关于点(

π

12

，0)对称；
④△ABC中，若sinA，sinB，sinC成等差数列，则B∈（0，

π

3

]，其中所有正确的序号是

②、③、④

．

Answer 1

分析：函数y=sin|x|是分段函数，可根据分段函数图象分析是否为周期函数；命题②中的两个函数定义域均关于原点对称，运用定义判断；判断命题③，只需将点代入即可；命题④根据sinA，sinB，sinC成等差数列，得到2sinB=sinA+sinC，进一步得到边的关系，运用余弦定理推论求解角B的范围．

解答：解：①y=sin|x|=

sinx    x＞0 -sinx  x＜0

，由正弦函数图象知在x＞0和x＜0时均以2π为周期变化，在整个定义域上不是周期函数．
②函数y=

1

2

+

1

2x-1

与y=

(1+2x)2

x•2x

的定义域均为{x|x≠0}关于原点对称，函数y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2x-1

∵

2-x+1

2-x-1

=

1+2x

1-2x

=-

2x+1

2x-1

．∴函数y=

1

2

+

1

2x-1

是奇函；同理证明函数y=

(1+2x)2

x•2x

是奇函．
③把点x=

π

12

代入y=2cos(2x+

π

3

)得y=2cos（2×

π

12

+

π

3

）=0，函数y=2cos(2x+

π

3

)的图象关于点(

π

12

，0)对称．
④∵sinA，sinB，sinC成等差数列，∴2sinB=sinA+sinC，∴2b=a+c，b²=

(a+c)2

4

=

a2+c2+2ac

4

，
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

．∴B∈(0，

π

3

]．
故答案为②③④．

点评：函数的周期性是指函数在整个定义域内周期出现；奇偶性除了用定义判断外，也可以借助于图象关于原点和y轴的对称情况判断；余弦类型函数的对称中心就是图象与平衡位置的交点；解三角形中的问题借助于正余弦定理边角互化是关键．