Question

3．已知向量|$\overrightarrow{e}$|=1，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{e}$的夹角为α，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{e}$的夹角为β，根据向量的数量积公式和向量的模表示出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}β}$）-2，根据三角函数的性质即可求出答案．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{e}$的夹角为α，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{e}$的夹角为β，
∵$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{e}$|=1，
∴（$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{e}$）²=$\overrightarrow{a}$²cos²α=1，（$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{e}$）²=$\overrightarrow{b}$4cos²β=4，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²）-2=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{4}{co{s}^{2}β}$）-2，
当cos²α=cos²β=1时，有最小值，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的最小值为$\frac{1}{2}$（1+4）-2=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算，关键是构造三角函数，属于中档题．