Question

12．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{x}{16}$+$\frac{y}{9}$=1的焦点，点P在椭圆上，且∠F₁PF₂=60°，求P到x轴距离．

Answer 1

分析 通过设|PF₁|=x（0＜x＜8），利用余弦定理计算可知x=2或x=6，记P到x轴距离为d，利用$\frac{1}{2}$•|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•d计算即得结论．

解答 解：依题意，可知|F₁F₂|=2$\sqrt{16-9}$=$2\sqrt{7}$，
设|PF₁|=x（0＜x＜8），则|PF₂|=8-x，
由余弦定理可知cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，
即cos60°=$\frac{{x}^{2}+（8-x）^{2}-（2\sqrt{7}）^{2}}{2x（8-x）}$，
整理得：x²-8x+12=0，
解得：x=2或x=6，
记P到x轴距离为d，则$\frac{1}{2}$•|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•d，
即$\frac{1}{2}$•2•6sin60°=$\frac{1}{2}$•$2\sqrt{7}$•d，
解得：d=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$，
故点P到x轴距离为$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理、三角形面积公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．