分析 (1)对f(x)求导,求得切线的斜率和切点坐标,由点斜式方程可得切线的方程;
(2)讨论f(x)的导数的单调性,求得φ(a)=lna+1-a的导数,判断单调性,可得f(x)的导数的符号,即可得证;
(3)方法一、求出f(x)的导数,讨论①当a≤1时,②当a>1时,判断单调性,即可得到所求范围;
方法二、令$g(x)=lnx-a(1-\frac{1}{x})$,求出导数,讨论①当a≤1时,②当a>1时,判断单调性,即可得到所求范围.
解答 解:(1)对f(x)求导,得f′(x)=lnx+1-a,
则f'(1)=1-a.又f(1)=0,
即有曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(1-a)(x-1);
(2)因为f′(x)=lnx+1-a为增函数,
所以当x∈(0,a)时,f′(x)<f'(a)=lna+1-a.
令φ(a)=lna+1-a,求导得$φ'(a)=\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}$.
当a∈(0,1)时,φ'(a)>0,φ(a)为增函数;
当a∈(1,+∞)时,φ'(a)<0,φ(a)为减函数.
因此φ(a)≤φ(1)=0,即f′(a)≤0.
所以,当x∈(0,a)时,f'(x)<0.
所以f(x)在(0,a)上为减函数;
(3)解法1:f'(x)=lnx+1-a.
①当a≤1时,因为f'(x)=lnx+1-a为增函数,
所以当x≥1时,lnx+1-a≥ln1+1-a=1-a≥0,因此f'(x)≥0.
当且仅当a=1且x=1时等号成立.所以f(x)在(1,+∞)上为增函数.
因此当x≥1时,f(x)≥f(1)=0.
②当a>1时,由f'(x)=lnx+1-a=0,得lnx=a-1.解得x=ea-1.
当x∈(1,ea-1)时,f'(x)<0,
因此f(x)在(1,ea-1)上为减函数.
所以当x∈(1,ea-1)时,f(x)<f(1)=0,不合题意.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1].
解法2:f(x)=xlnx-a(x-1)≥0?$lnx-a(1-\frac{1}{x})≥0$.
令$g(x)=lnx-a(1-\frac{1}{x})$,则$g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$.
①当a≤1时,因为x≥1,所以g'(x)≥0.当且仅当a=1且x=1时等号成立.
所以g(x)在(1,+∞)上为增函数.
因此,当x≥1时,g(x)≥g(1)=0.此时f(x)≥0.
②当a>1时,当x∈(1,a)时,g'(x)<0,因此g(x)在(1,a)上为减函数.
所以,当x∈(1,a)时,g(x)<g(1)=0,此时f(x)<0,不合题意.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1].
点评 本题考查导数的运用:求切线的方程和单调性,考查不等式的恒成立问题的解法,注意运用导数判断单调性,考查运算能力,属于中档题.
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