Question

3．已知锐角△ABC的内角A=$\frac{π}{3}$，点0为三角形外接圆的圆心，若$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，则2x-y的范围为（-2，1）．

Answer 1

分析 以三角形外心为坐标原点建立坐标系，设外接圆圆心为1，则ABC均在单位圆上，不妨设C（1，0），利用A=$\frac{π}{3}$解出B点坐标，设出A（cosθ，sinθ），则由$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$得出关于x，y和θ的关系，解出x，y，根据θ的范围得出关于2x-y的范围．

解答 解：设△ABC的外接圆半径为1，以△ABC的外心O为坐标原点，以OC所在直线为x轴建立坐标系，如图：
则C（1，0），设A（cosθ，sinθ），∵A=$\frac{π}{3}$，∴∠BOC=$\frac{2π}{3}$，∴B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{OA}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OC}$=（1，0）．
∵$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，∴（cosθ，sinθ）=（-$\frac{x}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）+（y，0）=（-$\frac{x}{2}+y$，-$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=-\frac{x}{2}+y}\\{sinθ=-\frac{\sqrt{3}x}{2}}\end{array}\right.$，解得x=-$\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}$，y=cosθ-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，
∴2x-y=-$\frac{4sinθ}{\sqrt{3}}$+$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$-cosθ=-$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$）
∵△ABC是锐角三角形，∴$\frac{π}{3}$＜θ＜π，∴$\frac{π}{2}$＜θ$+\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$．
∴当θ$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，2x-y取得最小值-2，
当θ$+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，2x-y取得最大值1．
故2x-y的值域是（-2，1）．
故答案为（-2，1）．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目作出符合条件的图形是关键．