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15.已知x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10•(x-1)10
(1)求a0+a1+a2+…+a10的值;
(2)若x10-3=f(x)(x-1)2+ax+b,其中f(x)是关于x的多顶式,求a,b的值.

分析 (1)令x=2,即可得出a0+a1+a2+…+a10
(2)由x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10•(x-1)10.可得x10-3=(x-1)2$[{a}_{2}+{a}_{3}(x-1)+…+{a}_{10}(x-1)^{8}]$+a1x+a0-a1-3.又x10-3=f(x)(x-1)2+ax+b,因此a=a1,b=a0-a1-3.令x=1,可得a0.对x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10•(x-1)10,两边求导可得:10x9=a1+2a2(x-1)+…+10${a}_{10}(x-1)^{9}$,令x=1,可得a1

解答 解:(1)令x=2,则a0+a1+a2+…+a10=210=1024.
(2)由x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10•(x-1)10
∴x10-3=(x-1)2$[{a}_{2}+{a}_{3}(x-1)+…+{a}_{10}(x-1)^{8}]$+a1x+a0-a1-3.
又x10-3=f(x)(x-1)2+ax+b,
∴a=a1,b=a0-a1-3.
令x=1,则a0=1,
对x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10•(x-1)10
两边求导可得:10x9=a1+2a2(x-1)+…+10${a}_{10}(x-1)^{9}$,
令x=1,则a1=10.
∴a=10,b=1-10-3=-12.

点评 本题考查了导数的应用、二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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