Question

13．已知集合A={x∈R|x²-4mx+2m+6=0}，B为负数组成的集合，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据已知条件知道方程x²-4mx+2m+6=0有负根，从而需该方程的小根小于0，从而有$\left\{\begin{array}{l}{△=16{m}^{2}-4（2m+6）≥0}\\{\frac{4m-\sqrt{16{m}^{2}-4（2m+6）}}{2}＜0}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出m的取值范围．

解答 解：A∩B≠∅；
∴方程x²-4mx+2m+6=0有负根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=16{m}^{2}-4（2m+6）≥0}\\{\frac{4m-\sqrt{16{m}^{2}-4（2m+6）}}{2}＜0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-2m-6≥0}\\{2m＜\sqrt{4{m}^{2}-2m-6}}\end{array}\right.$；
解4m²-2m-6≥0得m≤-1，或m$≥\frac{3}{2}$；
①m≤-1时，不等式2m$＜\sqrt{4{m}^{2}-2m-6}$成立；
②m$≥\frac{3}{2}$时，显然$2m＜\sqrt{4{m}^{2}-2m-6}$不成立；
∴实数m的取值范围为（-∞，-1]．

点评 考查交集的定义，元素与集合的关系，描述法表示集合，以及一元二次方程的求根公式，一元二次方程有解时判别式△的取值情况．