Question

【题目】设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=ex﹣f（0）x+x2（e是自然对数的底数）．
（1）求f（0）和f′（1）的值；
（2）若g（x）=x2+a与函数f（x）的图象在区间[﹣1，2]上恰有2两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（x）=ex﹣f（0）x+x2 ，
∴f′（x）=ex﹣f（0）+x，
∴f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，
∴f（0）=1，
∴f（x）=ex﹣x+x2 ，
∴f（0）=f′（1）﹣0+0，
∴f′（1）=1．
（2）由（1）可得：f（x）=﹣x+x2 ，
由g（x）=x2+a=f（x），化为a=﹣x=h（x），x∈[﹣1，2]．
∴h′（x）==，
令h′（x）＞0，解得1＜x＜2，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，此时函数h（x）单调递减．
∴当x=1时，函数h（x）取得最小值，h（1）=0．而h（﹣1）=，h（2）=e﹣2．
∵g（x）=x2+a与函数f（x）的图象在区间[﹣1，2]上恰有2两个不同的交点，
∴0＜a＜e﹣2．
∴实数a的取值范围是（0，e﹣2）．
【解析】（1）由f（x）=ex﹣f（0）x+x2 ， 可得f′（x）=ex﹣f（0）+x，令x=1，可得f（0），进而得到f′（1）．
（2）g（x）=x2+a与函数f（x）的图象在区间[﹣1，2]上恰有2两个不同的交点y=a与h（x）=﹣x在x∈[﹣1，2]上有两个不同交点．利用导数研究函数h（x）的单调性极值与最值，结合图象即可得出．