Question

下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面．
（I）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说理理由；
（II）若E为AB中点，求证：平面SEC⊥平面SCD．

Answer 1

分析：（I）欲证SA⊥平面ABCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SA与平面ABCD内两相交直线垂直，SA⊥AB，SA⊥AD，AB∩AD=A，满足定理条件；
（II）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，取SC中点G，连接EG，SE，EC，根据向量的数量积可知EG⊥CD，EG⊥SC，SC∩CD=C，满足线面垂直的判定定理，从而EG⊥平面SDC，再根据面面垂直的判定定理可得结论．

解答：解：（I）存在一条侧棱SA⊥平面ABCD，如图所示．（注：其中图正确给2分）（3分）
∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．?

（II）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz．
取SC中点G，连接EG，SE，EC，
则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），S（0，0，a），E(

a

2

，0，0)，G(

a

2

，

a

2

，

a

2

)．
∵

EG

=(0，

a

2

，

a

2

)，

CD

=(-a，0，0)，

SC

=(a，a，-a)
∵

EG

•

CD

=0，∴EG⊥CD（7分）
∵

EG

•

SC

=

a2

2

-

a2

2

=0，∴EG⊥SC．
又∵SC∩CD=C，∴EG⊥平面SDC?，而EG?平面SEC
∴平面SEC⊥平面SCD

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和空间向量等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．