Question

【题目】如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：连接DP，CQ，在△ABE中，P、Q分别是AE，AB的中点，∴ ，又 ，

∴ ，

又PQ平面ACD，DC平面ACD，

∴PQ∥平面ACD．

（Ⅱ）解：在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，∴CQ⊥AB．

而DC⊥平面ABC，EB∥DC，

∴EB⊥平面ABC．

而EB平面ABE，

∴平面ABE⊥平面ABC，

∴CQ⊥平面ABE

由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，∴DP∥CQ．

∴DP⊥平面ABE，

∴直线AD在平面ABE内的射影是AP，

∴直线AD与平面ABE所成角是∠DAP．

在Rt△APD中， = = ，

DP=CQ=2sin∠CAQ=2sin30°=1．

∴ = ．

【解析】（Ⅰ）利用三角形的中位线定理 ，又已知 ，可得 ，再利用线面平行的判定定理即可证明；

（Ⅱ）利用线面、面面垂直的判定和性质定理得到CQ⊥平面ABE，再利用（Ⅰ）的结论可证明DP⊥平面ABE，从而得到∠DAP是所求的线面角．

【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和用空间向量求直线与平面的夹角，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角的余角.即有：才能得出正确答案．