Question

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）
（1）两个女生必须相邻而站；
（2）4名男生互不相邻；
（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；
（4）老师不站中间，女生不站两端．

Answer 1

分析：（1）根据题意，把两个女生看做一个元素，注意考虑其间顺序，再将6个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，
（2）根据题意，4名男生互不相邻，应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生，由分步计数原理计算可得答案，
（3）根据题意，先在7个空位中任选3个安排老师和女生，因男生受身高排序的限制，只有1种站法，由分步计数原理计算可得答案，
（4）根据题意，分2种情况讨论，①、老师在两端，②、老师不在两端，利用排列、组合公式可得每种情况的站法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案．

解答：解：（1）根据题意两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，两个女生之间有A₂²种顺序，
将6个元素进行全排列，有A₆⁶种情况，
则共有A₆⁶A₂²=1440种不同站法；
（2）根据题意，先将老师和女生先排列，有A₃³种情况，
排好后形成四个空位，将4名男生插入，有A₄⁴种情况，
共有A₃³A₄⁴=144种不同站法；
（3）根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有A₇³种情况，
若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，
则男生的顺序只有一个，将4人排在剩余的4个空位上即可，有1种情况，
则共有1×A₇³=210种不同站法；
（4）根据题意，分2种情况讨论：
①、老师在两端，则老师有2种站法，女生可以站中间的5个位置，有A₅²种站法，男生站剩余的4个位置，有A₄⁴种站法，
此时有2×A₅²×A₄⁴=960种不同站法，
②、老师不在两端，则老师有4种站法，中间还有4个位置可站女生，女生有A₄²种站法，男生站剩余的4个位置，有A₄⁴种站法，
此时共有4×A₄²×A₄⁴=1152种不同站法，
则老师不站中间，女生不站两端共有960+1152=2112种不同站法．

点评：本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法．