Question

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为R，

AB

•

AC

=9．sinB=cosAsinC．
（1）求△ABC的三边的长；
（2）设P是△ABC（含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z．
①写出x、y、z．所满足的等量关系；
②利用线性规划相关知识求出x+y+z的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设△ABC中的三边分别为a、b、c，由三角形内角和化简sinB=cosAsinC，算出C=

π

2

．由此化简，

AB

•

AC

=9，得到b²=9，解出b=3，代入三角形面积公式算出a=4，最后由勾股定理即可算出c的长；
（2）①由三角形面积公式将△ABC的面积分为三块计算，化简得3x+4y+5z=12，即为x、y、z．所满足的等量关系；
②由①化简出x+y+z=

12

5

+

1

5

（2x+y），设目标函数t=2x+y，并根据不等式画出如图可行域，利用直线平移法解出0≤t≤8，从而可得x+y+z的取值范围．

解答：解：（1）设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C=

π

2

，
又∵

AB

•

AC

=9，得bccosA=9
∴结合ccosA=b，有b²=9，可得b=3．
∵S△ABC=

1

2

a•b=6，
∴a=4，
结合c²=a²+b²，得c=5，
即△ABC的三边长a=4，b=3，c=5；
（2）①S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB=S_△ABC，可得

1

2

•3x+

1

2

•4y+

1

2

•5z=6，
故3x+4y+5z=12．
②x+y+z=x+y+

1

5

(12-3x-4y)=

12

5

+

1

5

(2x+y)
令t=2x+y，依题意有

x≥0 y≥0 3x+4y≤12

画出可行域如图
可知当x=0，y=0时t_min=0
当x=4，y=0时，t_max=8，即0≤t≤8
故x+y+z=

12

5

+

1

5

t的取值范围为[

12

5

，4]．

点评：本题着重考查了向量的数量积、三角形的面积公式、勾股定理的知识，考查了简单的线性规则的知识，属于中档题．解题过程中注意转化化归、数形结合和方程思想的运用．