Question

如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥BD，且AB=BC=CA=BD=2AE=2
（Ⅰ）求证：平面ECD⊥平面BCD
（Ⅱ）求二面角D-EC-B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥A-ECD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证平面ECD⊥平面BCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面ECD内一直线与面CBD垂直，分别取CD、CB的中点F、G，连接EF、FG、AG，易证EF⊥面CBD，又EF?平面ECD，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接BF，过F作FM⊥EC，垂足为M，连接MB，根据二面角平面角的定义可知∠BMF为二面角D-EC-B的平面角，在△ECF中，求出MF，在三角形BMF中求出此角即可；
（Ⅲ）先用等体积法将三棱锥A-ECD的体积转化成三棱锥C-EAD的体积，然后利用三棱锥的体积公式求出所求．

解答：解：（Ⅰ）证明：分别取CD、CB的中点F、G，连接EF、FG、AG．
由题知四边形AEFG为矩形，易证AG⊥面CBD，AG∥EF，
∴EF⊥面CBD，
又EF?平面ECD，∴平面ECD⊥平面BCD
解：（Ⅱ）连接BF，则BF⊥CD，由（Ⅰ）知，BF⊥面ECD，过F作FM⊥EC，垂足为M，连接MB，
则∠BMF为二面角D-EC-B的平面角．
由题意知，EC=ED=

5

，CD=2

2

，
∴在△ECF中，MF=

EF•FC

CE

=

30

5

，又BF=

2

，
∴tan∠BMF=

BF

MF

=

15

3

，
∴二面角D-EC-B的大小为arctan

15

3

（Ⅲ）VA-ECD =VC-AED=

1

3

S△ADE ×

3

=

3

3

．

点评：本题主要考查了面面垂直的判定，以及二面角的度量和体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．