Question

2．如图，△PBD是直角三角形，∠PDB=90°，以BA为直径作⊙O，设点C是圆⊙O与直线PD的公共点，若∠ABC=∠DBC．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若PA=6，BD=4，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明OC⊥PD，可得PD是⊙O的切线；
（2）证明OC∥BD，求出圆的半径，由切割线定理，求PC的长．

解答 （1）证明：连接OC，则∠OBC=∠OCB，∵∠ABC=∠DBC，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：设圆的半径为r，则由（1）得OC⊥PD，
∵∠PDB=90°，
∴BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∵PA=6，BD=4，
∴$\frac{r}{4}=\frac{6+r}{6+2r}$，
∴r=3，
由切割线定理可得，PC²=PA•PB=6×12，
∴$PC=6\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的切线的证明，考查三角形相似的性质，考查切割线定理，属于中档题．