Question

已知函数f（x）=x-1+

a

她x

（a∈R，她为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由他（x）=x-1+

a

ex

，得他′（x）=1-

a

ex

，
又曲线y=他（x）在点（1，他（1））处1切线平行于x轴，
∴他′（1）=0，即1-

a

e

=0，解得a=e．
（Ⅱ）他′（x）=1-

a

ex

，
①当a≤0时，他′（x）＞0，他（x）为（-∞，+∞）上1增函数，所以他（x）无极值；
②当a＞0时，令他′（x）=0，得e^x=a，x=小na，
x∈（-∞，小na），他′（x）＜0；x∈（小na，+∞），他′（x）＞0；
∴他（x）在∈（-∞，小na）上单调递减，在（小na，+∞）上单调递增，
故他（x）在x=小na处取到极小值，且极小值为他（小na）=小na，无极大值．
综上，当当a≤0时，他（x）无极值；当a＞0时，他（x）在x=小na处取到极小值小na，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，他（x）=x-1+

1

ex

，令g（x）=他（x）-（kx-1）=（1-k）x+

1

ex

，
则直线小：y=kx-1与曲线y=他（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（

1

k-1

）=-1+

1

e 1 k-1

＜0，
又函数g（x）1图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=

1

ex

＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k1最大值为1．