Question

已知函数f（x）=x³（x＞0），点A_n（n，y_n），A_n+1（n+1，y_n+1）在函数f（x）的图象上（n∈N^*）过点A_n，A_n+1的切线分别为L_n，L_n+1，L_n与L_n+1的交点的横坐标为x_n．设an=

3

2(2n-1)

(xn-1)，则

lim

n→∞

a1+a2+…+an

n

=（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．

  15

  16

• D．

  13

  16

Answer 1

分析：先求出其导函数，进而得到在点A_n，A_n+1的切线方程，根据函数值相等求出L_n与L_n+1的交点的横坐标x_n的表达式；进而求出a_n的表达式，通过对其分离常数以及裂项即可求出答案．

解答：解：对y=x³（n∈N^*）求导得y′=3x²，
令x=n得在点A_n（n，y_n）处的切线的斜率k=3n²，
所以在点A_n（n，y_n）处的切线方程为y-n³=k（x-n）=3n²（x-n）⇒y=3n²x-2n³；
同理在A_n+1的切线方程为：y-（n+1）³=3（n+1）²[x-（n+1）]⇒y=3（n+1）²x-2（n+1）³．
∴3n²x-2n³=3（n+1）²x-2（n+1）³⇒x=

2(3n 2+3n+1)

3(2n+1)

即xn=

2(3n 2+3n+1)

3(2n+1)

⇒x_n-1=

6n 2-1

3(2n+1)

．
∴an=

3

2(2n-1)

(xn-1)=

3

2(2n-1)

•

6n2-1

3(2n+1)

=

6n2-1

2(2n+1)(2n-1)

=

3 4 (8n 2-2)+ 1 2

8n 2-2

=

3

4

+

1

4(4n 2-1)

=

3

4

+

1

8

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
∴

lim

n→∞

a1+a2+…+an

n

=

lim

n→∞

[ 3 4 + 1 8 (1- 1 3 )]+[ 3 4 + 1 8 ( 1 3 - 1 5 )]+…+[ 3 4 + 1 8 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 )]

n

=

lim

n→∞

3 4 n+ 1 8 (1- 1 2n+1 )

n

=

lim

n→∞

（

3

4

+

1

4

×

1

2n+1

）
=

3

4

．
故选：A．

点评：本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列的分组求和，裂项相消等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．