设函数,其中,为正整数,、、均为常数,曲线在处的切线方程为.
(1)求、、的值;
(2)求函数的最大值;
(3)证明:对任意的都有.(为自然对数的底)
(1),,;(2);(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用点在切线上,求出的值,由切线方程求出切线的斜率,从而得到的值,再结合题干的条件列方程组求出、、的值;(2)利用导数求出极值,利用极值与最值的关系求出最大值;(3)证法1是利用分析法将问题等价转化为证明不等式,最后等价证明,利用换元法,构造新函数,只需证明不等式即可,利用导数,结合单调性进行证明;证法2是先构造新函数,证明在区间内成立,再令,得到,最终得到,再结合(2)中的结论得到.
试题解析:(1)由点在直线上,可得,即.
,.
又切线的斜率为,,,,;
(2)由(1)知,,故.
令,解得,即在上有唯一零点.
当时,,故在上单调递增;
当时,,故在单调递减.
在上的最大值.
(3)证法1:要证对任意的都有,只需证,
由(2)知在上有最大值,,故只需证.
即,即,①
令,则,①即,②
令,则,
显然当时,,所以在上单调递增,
,即对任意的②恒成立,
对任意的都有;
证法2:令,则.
当时,,故在上单调递减;
而当时, ,故在上单调递增.
在上有最小值,.
,即.
令,得,即,所以,即.
由(2)知,,故所证不等式成立.
考点:1.利用导数求切线方程;2.利用导数求函数的最值;3.函数不等式
科目:高中数学 来源: 题型:
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n-1 |
n |
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科目:高中数学 来源: 题型:
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1-x |
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(Sn+1)(Sn+1+1) |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设是函数图象上任意两点,且,已知点的横坐标为
(1)求点的纵坐标;
(2)若,其中且n≥2,
① 求;
② 已知,其中,为数列的前n项和,若对一切都成立,试求λ的最小正整数值。
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科目:高中数学 来源:2015届四川省外语实验学校高一5月月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(文科只做(1)(2)问,理科全做)
设是函数图象上任意两点,且,已知点的横坐标为,且有,其中且n≥2,
(1) 求点的纵坐标值;
(2) 求,,及;
(3)已知,其中,且为数列的前n项和,若对一切都成立,试求λ的最小正整数值。
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年四川省成都市双流县棠湖中学外语实验学校高一(下)5月月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
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