Question

1．下列说法中错误的序号是④．
①若函数f（x）=ax²+（2a+b）x+2，x∈[2a-1，a+4]是偶函数，则b=2；
②函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-2015}-\sqrt{2015-{x^2}}$既是奇函数又是偶函数；
③已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+x），则当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；
④已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时f（x）单调递增，则f（x）在R上为增函数；
⑤已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，且对?x，y∈R都满足f（x•y）=xf（y）+yf（x），则f（x）是奇函数．

Answer 1

分析 对5个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①由函数f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，故定义域关于原点对称，即2a-1=-（a+4），可得a=-1．于是函数f（x）=ax²+（2a+b）x+2=-x²+（-2+b）x+2，而要使该函数为偶函数，则须-2+b=0，即b=2，正确；
②函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-2015}-\sqrt{2015-{x^2}}$=0，既是奇函数又是偶函数，正确；
③设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），∴f（-x）=-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（1-x），而f（0）=0，∴当x∈R时，f（x）=x（1+|x|），正确；
④已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时f（x）单调递增，则f（x）在（-∞，0）上为增函数，f（x）在R上不一定为增函数，比如f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{x+1，x＜0}\end{array}\right.$；
⑤因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），所以令x=y=1，得f（1）=0，令x=y=-1，得f（-1）=0；令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），所以f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，正确．
故答案为：④．

点评 本题考查命题的真假判断，考查函数的奇偶性，单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．