Question

已知M是抛物线y²=4x上的一点，F是抛物线的焦点，线段MF的中点P到y轴的距离为2，则|PF|=

2

．

Answer 1

分析：设M在抛物线的准线x=-1上的射影为M′，利用抛物线的定义，抛物线y²=4x上的一点M到其焦点F（1，0）的距离|MF|=|MM′|，结合梯形中位线的性质即可求得|PF|．

解答：解：依题意，设M在抛物线的准线x=-1上的射影为M′，线段MF的中点P在y轴上的射影为P′，在抛物线的准线x=-1上的射影为P″，作图如下：

∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，设F在抛物线的准线上的射影为F′，则|FF′|=2；
依题意PP″为梯形FF′M′M的中位线，
∵|PP′|=2，
∴|PP″|=2-（-1）=3，
又|FF′|=2，
∴2|PP″|=|FF′|+|MM′|，即2×3=2+|MM′|，
∴|MM′|=4，又|MF|=|MM′|，
∴|MF|=4，又P为MF的中点，
∴|PF|=2．
故答案为：2．

点评：本题考查抛物线的简单性质与梯形中位线的性质，考查转化思想与运算推理能力，属于中档题．