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精英家教网如图所示,有两条相交成60°角的直线xx′,y′y,交点是O,甲、乙分别在ox,oy上,起初甲离O点3km,乙离O点1km,后来两人同时用每小时4km的速度,甲沿xx′的方向,乙沿y′y的方向步行.
(1)起初两人的距离是多少?
(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离?
(3)什么时候两人的距离最短?
分析:(1)连接AB,在三角形OAB中,过A作出OB边上的高AD,利用三角函数求出AB即可;
(2)设两人的距离为ykm根据题意分两种情况讨论即A与O不重合,A和O重合,分别利用三角函数求出AB即可得到y的解析式;(3)利用二次函数求最小值的方法求出y的最小值即可.
解答:精英家教网解:(1)连接AB,在三角形OAB中,过A作出OB边上的高AD,
在直角三角形OAD中,OA=3,OB=1,
因为∠AOB=60°
所以BD=1.5-1=0.5,AD=OAsin60°=
3
3
2

则根据勾股定理得AB=
7
km;
(2)①A在O的右边,则t小时走的路为4t,和(1)计算方法一样,
得AB=
48t2-24t+
117
36
,且0≤t<
3
4

②A和O重合时,AB=4t+1,t=
3
4

③A在O的左边,AB=
(
1-4t
2
+4t-3)
2
+(
3
+4
3
t
2
)
2

(3)因为AB=
48t2-24t+
117
36
且0≤t<
3
4
,设m=48t2-24t+
117
36

求出m在[0,
3
4
)的最小值为m(0)=
117
36

所以AB的最小值为
7
点评:考查学生根据实际问题选择函数类型的能力,利用三角函数解直角三角形的能力,以及利用二次函数求最值的能力.
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(2)t小时后两车的距离是多少?
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(1)起初两人的距离是多少?
(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离?
(3)什么时候两人的距离最短?

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⑴起初,两人的距离是多少?

⑵用包含的式子表示小时后两人的距离;

⑶什么时候两人的距离最短?

 

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