【题目】某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10﹣ ,t∈[0,24)
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
【答案】
(1)解:∵f(t)=10﹣ =10﹣2sin( t+ ),t∈[0,24),
∴ ≤ t+ < ,故当 t+ = 时,及t=14时,函数取得最大值为10+2=12,
当 t+ = 时,即t=2时,函数取得最小值为10﹣2=8,
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃.
(2)解:由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由(Ⅰ)可得f(t)=10﹣2sin( t+ ),
由10﹣2sin( t+ )>11,求得sin( t+ )<﹣ ,即 < t+ < ,
解得10<t<18,即在10时到18时,需要降温.
【解析】(1)利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f(t)10﹣2sin( t+ ),t∈[0,24),利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值及最小值,可得实验室这一天的最大温差.(2)由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由f(t)>11,求得sin( t+ )<﹣ ,即 < t+ < ,解得t的范围,可得结论.
【考点精析】掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换是解答本题的根本,需要知道图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
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【题目】教材上一例问题如下:
一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据如下表,试建立y与x之间的回归方程.
温度 x/℃ | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 |
产卵数y/个 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 |
某同学利用图形计算器研究它时,先作出散点图(如图所示),发现两个变量不呈线性相关关系. 根据已有的函数知识,发现样本点分布在某一条指数型曲线的附近(和是待定的参数),于是进行了如下的计算:
根据以上计算结果,可以得到红铃虫的产卵数y对温度x的回归方程为__________.(精确到0.0001) (提示:利用代换可转化为线性关系)
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【题目】如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,
A1C1∩B1D1=O1 , 四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明:O1O⊥底面ABCD;
(2)若∠CBA=60°,求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值.
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【题目】若函数f(x),g(x)满足 f(x)g(x)dx=0,则f(x),g(x)为区间[﹣1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:
①f(x)=sin x,g(x)=cos x;
②f(x)=x+1,g(x)=x﹣1;
③f(x)=x,g(x)=x2 ,
其中为区间[﹣1,1]上的正交函数的组数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= (|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )
A.[﹣ , ]
B.[﹣ , ]
C.[﹣ , ]
D.[﹣ , ]
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【题目】已知是定义在上的函数,如果存在常数,对区间的任意划分:,和式恒成立,则称为上的“绝对差有界函数”,注:.
(1)求证:函数在上是“绝对差有界函数”;
(2)记集合存在常数,对任意的,有成立.
求证:集合中的任意函数为“绝对差有界函数”;
(3)求证:函数不是上的“绝对差有界函数”.
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【题目】已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0 , 且x0>0,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.(2,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)
D.(﹣∞,﹣2)
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【题目】已知指数函数满足,定义域为的函数是奇函数.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在上有零点,求的取值范围;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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