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(2013•丰台区二模)已知椭圆C:
x2
4
+y2=1
的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,
1
2
) 满足m≠0,且m≠±
3

(Ⅰ)求椭圆C的离心率e;
(Ⅱ)用m表示点E,F的坐标;
(Ⅲ)若△BME面积是△AMF面积的5倍,求m的值.
分析:(Ⅰ)利用椭圆的离心率计算公式e=
c
a

(Ⅱ)利用点斜式分别写出直线AM、BM的方程,与椭圆的方程联立即可得到点E、F的坐标;
(Ⅲ)利用三角形的面积公式及其关系得到
5|MA|
|ME|
=
|MB|
|MF|
,再利用坐标表示出即可得到m的值.
解答:解:(Ⅰ)依题意知a=2,c=
3
,∴e=
3
2
;              
(Ⅱ)∵A(0,1),B(0,-1),M (m,
1
2
),且m≠0,
∴直线AM的斜率为k1=-
1
2m
,直线BM斜率为k2=
3
2m

∴直线AM的方程为y=-
1
2m
x+1
,直线BM的方程为y=
3
2m
x-1

x2
4
+y2=1
y=-
1
2m
x+1
得(m2+1)x2-4mx=0,
x=0,x=
4m
m2+1
,∴E(
4m
m2+1
m2-1
m2+1
)

x2
4
+y2=1
y=
3
2m
x-1
得(9+m2)x2-12mx=0,
x=0,x=
12m
m2+9
,∴F(
12m
m2+9
9-m2
m2+9
)
;                
(Ⅲ)∵S△AMF=
1
2
|MA||MF|sin∠AMF
S△BME=
1
2
|MB||ME|sin∠BME
,∠AMF=∠BME,5S△AMF=S△BME
∴5|MA||MF|=|MB||ME|,∴
5|MA|
|ME|
=
|MB|
|MF|

5m
4m
m2+1
-m
=
m
12m
9+m2
-m

∵m≠0,∴整理方程得
1
m2+1
=
15
m2+9
-1
,即(m2-3)(m2-1)=0,
又∵m≠±
3
,∴m2-3≠0,∴m2=1,∴m=±1为所求.
点评:熟练掌握椭圆的离心率、点斜式、直线与椭圆的相交问题的解题模式、三角形的面积计算公式、比例式如何用坐标表示是解题的关键.
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(2013•丰台区二模)已知偶函数f(x)(x∈R),当x∈(-2,0]时,f(x)=-x(2+x),当x∈[2,+∞)时,f(x)=(x-2)(a-x)(a∈R).
关于偶函数f(x)的图象G和直线l:y=m(m∈R)的3个命题如下:
①当a=2,m=0时,直线l与图象G恰有3个公共点;
②当a=3,m=
1
4
时,直线l与图象G恰有6个公共点;
③?m∈(1,+∞),?a∈(4,+∞),使得直线l与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.
其中正确命题的序号是(  )

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关于偶函数f(x)的图象G和直线l:y=m(m∈R)的3个命题如下:
①当a=4时,存在直线l与图象G恰有5个公共点;
②若对于?m∈[0,1],直线l与图象G的公共点不超过4个,则a≤2;
③?m∈(1,+∞),?a∈(4,+∞),使得直线l与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.
其中正确命题的序号是(  )

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π
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对称的是(  )

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