Question

已知函数f（x）=|x²-2ax+b|．x∈R，给出四个命题：
①f（x）必是偶函数；
②若f（0）=f（2），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
③若a²-b≤0，则f（x）在[a，+∞）上是增函数；
④f（x）有最小值|a²-b|；⑤对任意x都有f（a-x）=f（a+x）；
其中正确命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：通过举出反例加以说明，结合二次函数的图象与性质可得①②不正确；若a²-b≤0，由根的判别式小于0得到   f（x）=x²-2ax+b，即得f（x）在[a，+∞）上是增函数，得③正确；根据根的判别式不一定小于0，得可能f（x）的最小值为0而不是|a²-b|，得④不正确；根据代入函数解析式加以验证，可得⑤正确．
解答：解：对于①，当a=1、b=0时，f（x）=|x²-2x|为非奇非偶函数
故f（x）不一定是偶函数，得①不正确；
对于②，当a=0、b=-2时，f（x）=|x²-2|图象不关于直线x=1对称，
但是满足f（0）=f（2）=2，得②不正确；
对于③，若a²-b≤0，函数t=x²-2ax+b根的判别式△=4a²-4b＜0
因此t＞0恒成立，得f（x）=x²-2ax+b，
图象开口向上，且关于直线x=a对称，因此f（x）在[a，+∞）上是增函数，得③正确；
对于④，当4a²-4b≥0时，f（x）=|x²-2ax+b|的最小值为0
所以f（x）的最小值不一定是|a²-b|，得④不正确；
对于⑤，因为f（a-x）=|x²-a²+b|=f（a+x），所以⑤正确；
故答案为：③⑤
点评：本题给出含有绝对值的二次函数，判断函数的单调性、奇偶性和图象的对称性．着重考查了二次函数的图象与性质、函数的零点与值域的求法，考查了命题真假的判断等知识，属于基础题．