Question

各项均为正数的数列对一切均满足．证明：
（1）；
（2）．

Answer 1

（1）详见解析，（2）详见解析.

试题分析：（1）作差证明不等式，因为，，所以，且．
因此．即.（2）本题证明：用数学归纳法，而证明用反证法. ① 当时，由题设可知成立；② 假设时，，
当时，由（1）得，．由①，②可得，．假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．因为，，， ，，与题设矛盾，所以，．若，则，根据上述证明可知存在矛盾．
【证明】（1）因为，，与题设矛盾，所以，．若，则，根据上述证明可知存在矛盾．
所以，
所以，且．
因为．
所以，
所以，即．                          4分
（注：用反证法证明参照给分）
（2）下面用数学归纳法证明：．
① 当时，由题设可知结论成立；
② 假设时，，
当时，由（1）得，．
由①，②可得，．                               7分
下面先证明．
假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．
因为，，
， ，，
与题设矛盾，所以，．          
若，则，根据上述证明可知存在矛盾．
所以成立．                                          10分