Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）在[a，b]上有（　　）

• A、最小值f（a）
• B、最大值f（b）
• C、最小值f（b）
• D、最大值f（

  a+b

  2

  ）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：先研究函数的奇偶性，可以先令x=y=0求得f（0）的值，再令y=-x，代入原式，可得奇偶性；再结合单调性的定义判断单调性，最后判断函数在[a，b]上的最值情况．

解答： 解：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0；
再令y=-x，代入原式得f（0）=f（x）+f（-x）=0，所以f（-x）=-f（x），故该函数为奇函数且图象过原点；
由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（x+y）-f（x）=f（y），
令x₁＜x₂，再令x₁=x+y，x₂=x，则y=x₁-x₂＜0，结合x＜0时，f（x）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f（x）在[a，b]上递减，
故f（b）是最小值，f（a）是最大值．
故选C．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性求最值的方法．